Wie wichtig ist es, Parteitage und Stammtische in die Mitte der Region zu legen?
Abstract
Der Unterschied zwischen optimaler und suboptimaler Lage eines Treffpunktes über die Fläche verteilter Teilnehmerinnen erweist sich als kleiner als vermutet. Das legt nahe, andere Kriterien (Lage an Verkehrslinien, preisgünstige Veranstaltungsräume und Übernachtungsmöglichkeiten, besonders kurze Anreise für Transporteure voluminöser Gerätschaften usw.) in Betracht zu ziehen.Einleitung
Piratenintern hatten wir kürzlich (Mittelerde-Barcamp) die Diskussion, wo zentrale Veranstaltungen (von Stammtisch bis hin zum BPT) stattfinden sollten. Da ist es naheliegend, den Mittelpunkt des Einzugsgebietes zu nehmen (über eine Gewichtung nach Teilnehmerinnendichte usw. kann man natürlich nachdenken, das ändert das Problem aber nur marginal). Für mich ergab sich daraus zwangsläufig die Frage: Wie optimal ist das wirklich, und wie groß ist der Vorteil?Ergebnisse
Nehmen wir zuerst den einfachsten Fall: Wir haben zwei Personen A und B, und die wohnen an den Positionen "0" und "1" einer geraden Strecke. Dann sind alle Punkte im Innern der Strecke gleichwertig - wenn wir den Treffpunkt ein wenig nach rechts verschieben, muss A um diesen Betrag weiter fahren, B entsprechend weniger. Erst bei einem Treffpunkt außerhalb des Einzugsgebietes nimmt die Fahrstrecke zu.
In zwei Dimensionen ist das etwas schwieriger. Wie beginnen mit der kleinsten Variante: Ein Quadrat mit vier an den Ecken wohnenden Teilnehmerinnen. Das Optimum liegt klar in der Mitte, aber ist nicht mehr komplett gleichgültig. Wenn man den Treffpunkt entlang der Diagonalen AC verschiebt, ändert sich für die Summe der Entfernungen für A und C nichts. Für B und D steigt aber der Aufwand geringfügig - die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer länger als die längste Kathete. Allerdings ist dieser Unterschied vernachlässigbar klein, wenn die kurze Kathete sehr kurz ist. Im Extremfall (Treffpunkt an einer der Ecken) ist die Summe um ca. 20% größer als das Minimum.
Auch hier nimmt der Nachteil eines dezentralen Treffpunktes zu, wenn Leute im Innern der Fläche wohnen.
Für 9 Personen sieht das Diagramm so aus:
Jetzt nehmen wir wieder eine Teilung der Kantenlänge in 39 Teile (d.h. 40×40=1600 Teilnehmerinnen). Das Bild sieht dann so aus:
Methoden
Auf Methoden der höheren Mathematik wurde in der gesamten Arbeit verzichtet, wenn auch der eindimensionale Fall im Grenzwert von ∞ vielen Teilnehmern damit triviel zu behandeln ist. Alle Berechnungen wurden unmittelbar in gnuplot durchgeführt und dargestellt. Hier sind die verwendeten Funktionsdefinitionen. User-Defined Functions:
f(x,a,n)=abs(x-(1.0*a/n))
g(x,n)=gs(x,n,n)
gs(x,m,n)=(m<0)?0:(f(x,m,n)+gs(x,m-1,n))
hyp(x,y)=sqrt(x*x+y*y)
F(x,y,a,b,n)=hyp(x-1.0*a/n,y-1.0*b/n)
G(x,y,n)=Gss(x,y,n,n)
Gss(x,y,m,n)=(m<0)?0:(Gss(x,y,m-1,n)+Gs(x,y,m,n,n))
Gs(x,y,m,r,n)=(r<0)?0:(Gs(x,y,m,r-1,n)+F(x,y,m,r,n))
Dabei sind die Funktionen für den eindimensionalen Fall mit Kleinbuchstaben, die für den zweidimensionalen Fall mit Großbuchstaben bezeichnet. f(x,a,n) liefert die Fahrstrecke für Teilnehmerin a (von 0..n) zum Treffpunkt x, analog F(x,y,a,b,n). n+1 bezeichnet jeweils die Zahl der Teilnehmerinnen entlang einer Dimension. gs, Gs und Gss sind rekursive Hilfsfunktionen (gnuplot erlaubt Rekursion, sofern man mit Hilfe des ternären Operators die Terminierung garantiert). Da die Division ganzer Zahlen in gnuplot auch als Ganzzahldivision ausgeführt wird, wurde sicherheitshalber an allen relevanten Stellen "1.0*" eingebaut (da der Funktionsparser in gnuplot von links nach rechts arbeitet, reicht das - richtig sicher wäre "(1.0*a)/n" statt "1.0*a/n").Für die Forschungen wurden keine tentakeligen Versuchstiere belästigt oder getötet (tentakellose sind irrelevant).
