Ralfs anfallender Unsinn: Placebo-Zeno-Effekt

Steven Moffat beschreibt eine neue Variante des Quanten-Zeno-Effekts[1]. Letzter ist bisher in makroskopischer Form nur an Lolkatzen[0] und Engeln beobachtet wurden. Bei anderen makroskopischen Objekten ist davon auszugehen, dass die Dekohärenz die Nichtdiagonalelemente sowieso vernichtet, sodass die zusätzliche Beobachtung auch keine Rolle mehr spielt (und natürlich darf der Hamiltonoperator nicht gerade die spezielle Form haben, die bei Vorhandensein von Dekohärenz oder Beobachtung die Bewegung verhindert).

Und jetzt kommt das genial neue: Was passiert, wenn das Messobjekt selbst intelligent ist?
Bei 30:20 sagt der Doktor "The angels are scared...". D.h. wenn das Messobjekt sich nur einbildet, beobachtet zu werden, kann es sich auch nicht mehr bewegen.
Eine theoretische Beschreibung hierfür gibt es nicht, evolutionsbiologisch hätte es auch keinen Sinn[4].
Man kann natürlich auch annehmen, da hätte einer gepfuscht. RTD wäre das nicht passiert ;-)

[0] Das ist auch der Grund, weshalb man für das Schrödinger-Experiment Katzen nehmen muss: Engel sind zu gefährlich (und vermutlich immun gegen Blausäure), und Hunde unterliegen der Dekohärenz.

[1] Kurzbeschreibung (eine längere ist hier[2] unten angehängt, da das üblicherweise aus Zeitmangel am Ende von QM-Vorlesungen unter den Tisch fällt und die populären Darstellungen (inclusive Wikipedia) mehr mit Handwedeln als mit Formeln arbeiten): Durch Messung geht ein Quantensystem in eine Dichtematrix über, deren Nichtdiagonalelemente gelöscht sind. Da in der Zeitentwicklung der Dichtematrix (für geeignete Systeme) die Zeitableitung der Diagonalelemente linear in den Nichtdiagonalelementen ist, kommt die Entwicklung fast zum Stillstand, wenn man das System in kurzen Abständen immer wieder einer Messung unterwirft.

[2] Es folgt ein ausführlich durchgerechnetes einfaches Beispiel (die Einheiten seien so gewählt, dass ℏ=1 ist).

Hamilton-Operator für einen einfachen Spin:

$\hat{H}=\omega\left(\begin{array}1&-1\\-1&1\end{array}\right)$

Anfangswert für die Wellenfunktion:

$|\psi>(t)=\left(\begin{array}1\\0\end{array}\right)$

Uns interessiert die Wahrscheinlichkeit, dass der Spin nach "oben" zeigt, das ist beschrieben durch die Observable A:

$\hat{A}=\omega\left(\begin{array}1&0\\0&0\end{array}\right)$

Die Schrödingergleichung

$\frac{{\rm d}|\psi>}{{\rm d}t}={\rm i}\hat{H}|\psi>$

liefert dann für die ungestörte Entwicklung die Lösung

$|\psi>(t)=\left(\begin{array}\cos(\omega t)\\-{\rm i}\sin(\omega t)\end{array}\right)$

Der Erwartungswert von A hat dann die Form a(t)=cos²(ωt).

Mit der Dichtematrix
ϱ=|ψ†><ψ| erhält man

$\varrho(t)=\left(\begin{array}\cos^2(\omega t)&{\rm i}\cos(\omega t)\sin(\omega t)\\-{\rm i}\cos(\omega t)\sin(\omega t)&\sin^2(\omega t)\end{array}\right)$

Wird zum Zeitpunkt t eine Messung der Observablen A durchgeführt, so "kollabiert" die Dichtematrix zu

$\varrho_M(t)=\left(\begin{array}\cos^2(\omega t)&0\\0&\sin^2(\omega t)\end{array}\right)$

Die Zeitentwicklung einer Dichtematrix ist durch

$\frac{{\rm d}\varrho}{{\rm d}t}={\rm i}[\hat{H},\varrho]$

beschrieben. Der interessante Aspekt wird sofort sichtbar, wenn wir das für eine allgemeine Matrix der Form

$\hat{X}=\left(\begin{array}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{array}\right)$

ausschreiben. Mit obigem H bekommen wir

$[\hat{H},\hat{X}]=\omega\left(\begin{array}\beta-\gamma&\alpha-\delta\\\delta-\alpha&\gamma-\beta\end{array}\right)$

Jetzt berechnen wir den Wert von ϱ für einen Zeitpunkt t+τ, wobei t fest gewählt und τ infinitesimal klein sei.

Für die freie (d.h. ungemessene) Entwicklung bekommen wir (mit den Abkürzungen S=sin(ωt) und C=cos(ωt) [3])

$\varrho_F(t+\tau)=\varrho_F(t)+{\rm i}\omega\tau\left(\begin{array} 2{\rm i}S C&C^2-S^2\\ S^2-C^2&-2{\rm i}S C\end{array}\right)$

Dieser Ausdruck ist einfach die nach dem linearen Term abgebrochene Taylorreihe der exakten Lösung nach Anwendung der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus.

Für den Erwartungswert von A bekommen wir

$a_F(t+\tau)=\cos^2(\omega t)-2\omega\tau\sin(\omega t)\cos(\omega t)$

was auch mit der Taylorreihe übereinstimmt.

Wurde hingegen zum Zeitpunkt t eine Messung durchgeführt, so
ergibt sich die Zeitentwicklung zu

$\varrho_M(t+\tau)=\varrho_M(t)+{\rm i}\omega\tau\left(\begin{array}0&C^2-S^2\\ S^2-C^2&0\end{array}\right)$

Man beachte das Fehlen der Diagonalelemente im zweiten Summanden.

Für den Erwartungswert von A bekommen wir nun

$a_M(t+\tau)=\cos^2(\omega t)\equiv a_M(t)$

d.h. durch die vorangegangen Messung wurde die Entwicklung kurzzeitig angehalten (im Rahmen der Vernachlässigbarkeit höherer Potenzen von τ). Beobachtet man das System in hinreichend kurzen Abständen dauernd, so kommt die Entwicklung zum Stillstand.

[3] Die Abkürzungen sind notwendig, weil man per GET-Request nur kurze Strings übergeben kann.

[4] Die Hände vorm Gesicht allerdings auch nicht - ein mutierter Schurkenengel, der das Gesicht nicht zuhält, hätte Vorteile gegenüber seinen Artgenossen und würde sich auf deren Kosten vermehrt haben. E.O. Wilson wird hier widersprechen.

Nachbearbeitet 2010-05-04 (Formeln in LaTeX gesetzt)
2011-04-10: Quantenkatzenvideo ist an der alten Stelle verschwunden, neue URL eingesetzt, Latex-Fehler in Formeln behoben (das Chart-API will auch die Pluszeichen als %2b -- eigentlich naheliegend, wenn man darüber nachdenkt)

Ralfs anfallender Unsinn

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2010-05-02

Placebo-Zeno-Effekt

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